Ley de Gauss
La ley de Gauss se trata de lo siguiente. Dada cualquier distribución general de carga, se rodea con una superficie imaginaria que la encierre y luego se observa el campo eléctrico en distintos puntos de esa superficie imaginaria. La ley de Gauss es una relación entre el campo en todos los puntos de la superficie y la carga total que ésta encierra.
Existe una relación alternativa entre las distribuciones de carga y los campos eléctricos. Para descubrir esta relación, planteemos la siguiente pregunta: “si se conoce la disposición del campo eléctrico en una región determinada, ¿qué podemos determinar acerca de la distribución de carga en esa región.
Considere la caja que se ilustra en la figura 1, que puede contener o no una carga eléctrica. Imagine que la caja está construida con un material que no tiene efecto en ningún campo eléctrico. Mejor aún, dejemos que la caja represente una superficie imaginaria que puede encerrar o no cierta carga. Llamaremos a la caja una superficie cerrada, ya que encierra por completo un volumen. ¿Cómo determinar cuánta carga eléctrica (si es que la hay) se encuentra dentro de la caja?
Como sabemos que una distribución de carga produce un campo eléctrico y que éste ejerce una fuerza sobre una carga de prueba, se mueve una carga de prueba q0 en torno a las proximidades de la caja. Con la medición de la fuerza F experimentada por la carga de prueba en diferentes posiciones, se elabora un mapa tridimensional del campo eléctrico E=F/q0 fuera de la caja. En el caso que se ilustra en la figura 2, el mapa resulta ser el mismo que el del campo eléctrico producido por una carga puntual positiva. A partir de los detalles del mapa es posible determinar el valor exacto de la carga puntual dentro de la caja.
Para determinar el contenido de la caja, en realidad sólo se necesita medir E en la
superficie de la caja. En la figura 3A hay una sola carga puntual positiva en el interior
de la caja, y en la figura 3B hay dos de tales cargas. Los patrones de campo en
las superficies de las cajas son diferentes en sus detalles, pero en ambos casos el campo
eléctrico apunta hacia fuera de la caja. Las figuras 3C y 3D ilustran casos con
una y dos cargas puntuales negativas, respectivamente, dentro de la caja. Una vez
más, los detalles de E sobre la superficie de la caja son distintos, pero en los dos casos
el campo apunta hacia la caja.
Figura 3
Figura 1
Figura 2
La figura 3 sugiere una relación sencilla: la carga positiva dentro de la caja corresponde a un flujo eléctrico saliente a través de la superficie de la caja, y la carga negativa en el interior corresponde a un flujo eléctrico entrante. ¿Qué pasa si la carga dentro de la caja es cero? En la figura 4a la caja está vacía y E = 0 en todo lugar, por lo que no hay flujo eléctrico hacia el interior o exterior de la caja. En la figura 4b, dentro de la caja hay una carga positiva y otra negativa de la misma magnitud, por lo que la carga neta en el interior es igual a cero. Hay un campo eléctrico, pero “fluye hacia dentro” de la caja en la mitad de su superficie y “fluye hacia fuera” de la caja en la otra mitad. Por lo tanto, no hay flujo eléctrico neto hacia dentro o hacia fuera de la caja.
En la figura 4c, la caja de nuevo está vacía. Sin embargo, hay una carga presente fuera de la caja, que se ha colocado con uno de sus extremos paralelos a una lámina infinita con carga uniforme que produce un campo eléctrico uniforme perpendicular a la
lámina. En un extremo de la caja, E apunta hacia esta última, y en el extremo opuesto E apunta hacia fuera de la caja; y en los lados, E es paralelo a la superficie, por lo que no apunta hacia dentro ni hacia fuera de la caja. Como sucede en la figura 4b, el flujo eléctrico hacia el interior en una parte de la caja compensa con exactitud al flujo eléctrico que va hacia el exterior en la otra parte. De manera que en todos los casos que se ilustran en la figura 4, no hay un flujo eléctrico neto a través de la superficie de la caja, y ninguna carga neta está encerrada en ella.
a)
b)
c)
Figura 4
Esta conclusión es independiente del tamaño de la caja. En la figura 5c la carga puntual +q está encerrada por una caja con dimensiones lineales que duplican las de la caja de la figura 5a. La magnitud del campo eléctrico de una carga puntual disminuye
con la distancia de acuerdo con 1/r2, de manera que la magnitud media de E en cada cara de la caja grande en la figura 5c es justo de la magnitud media en la cara correspondiente en la figura 5a. Pero cada cara de la caja grande tiene exactamente el cuádruple del área de la cara correspondiente de la caja pequeña. Por lo tanto, el flujo eléctrico saliente de la caja es igual para las dos cajas si el flujo eléctrico se define como sigue: con respecto a cada cara de la caja, hay que calcular el producto de la componente perpendicular media de E por el área de esa cara; luego se suman los resultados de todas las caras de la caja. Con esta definición, el flujo eléctrico neto debido a una sola carga puntual dentro de la caja es independiente del tamaño de ésta y sólo depende de la carga neta en el interior.
Se ha visto que existe una relación entre la cantidad neta de carga dentro de una superficie cerrada y el flujo eléctrico a través de esa superficie. Para los casos especiales de una superficie cerrada en forma de caja rectangular y distribuciones de carga constituidas por cargas puntuales o láminas infinitas con carga, se tiene lo siguiente:
1. El hecho de que el flujo neto sea hacia el exterior o hacia el interior de una superficie cerrada depende del signo de la carga encerrada.
2. Las cargas afuera de la superficie no provocan un flujo eléctrico neto a través de la superficie.
3. El flujo eléctrico neto es directamente proporcional a la cantidad neta de carga contenida dentro de la superficie, pero es independiente del tamaño de la superficie cerrada.
Figura 5
a)
b)
c)
Cualitativamente, el flujo eléctrico a través de una superficie es la descripción de si el campo eléctrico apunta hacia la superficie o en sentido contrario. Esto se utilizó para formular un enunciado cualitativo de la ley de Gauss: el flujo eléctrico neto a través de una superficie cerrada es directamente proporcional a la carga neta en el interior de esa superficie.
El símbolo que se usa para el flujo eléctrico es ΦE (la letra griega mayúscula fi; el subíndice E es para recordar que se trata de flujo eléctrico). En primer lugar, considere un área plana A perpendicular a un campo eléctrico uniforme (figura 6a). Se define el flujo eléctrico a través de esta área como el producto de la magnitud del campo E por el área A:
ΦE = E . A
En términos aproximados, se puede imaginar ΦE como las líneas de campo que pasan a través de A. El incremento del área significa que más líneas de E cruzan el área, lo que aumenta el flujo; un campo más intenso significa mayor densidad de líneas de, por lo que hay más líneas que pasan por unidad de área, lo que también incrementa el flujo.
Si el área A es plana pero no perpendicular al campo E entonces son menos las líneas de campo que la atraviesan. En este caso, el área que se toma en cuenta es la silueta que se observa al mirar en dirección de E. Ésta es el área en la figura 6b, y es igual a A cos α . Nuestra definición de flujo eléctrico para un campo eléctrico uniforme se generaliza a:
ΦE = E . A . cos α
Figura 6
